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Jörg Christmann
Autor und Mathematiklehrer

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gleichmäßiges Achteck - zeichnen, basteln, berechnen, erkunden

gleichmäßiges Achteck - Die Unterrichtseinheit zum Erkunden des Achtecks


häufige Fragen zum Achteck

Diese Fragen werden oft im Zusammenhang mit einem Achteck gestellt. All diese Fragen wirst du im Laufe dieses Lehrgangs zum Achteck bestimmt sicher und fundiert beantworten können:

Wie konstruiert man ein regelmäßiges Achteck aus einem Kreis?

Zeichne ein Quadrat und in dieses Quadrat die beiden Diagonalen. Anschließend zeichnest du einen Kreis in das Achteck. Zeichne jetzt noch eine Senkrechte durch den Mittelpunkt und eine Waagerechte durch den Mittelpunkt. Jetzt solltest du 8 Schnittpunkte im Kreis haben. Diese Punkte verbindet man und schon ist das Achteck fertig.

Alternativ kannst du einen Kreis zeichnen und vom Mittelpunkt 8 Radien abtragen, die jeweils einen Winkel von 45 Grad bilden. Teile auslo 360° durch 8. Jetzt hast du auch 8 Punkte auf dem Kreis, die alle gleich weit voneinander entfernt sind und nach dem Verbinden ein Achteck bilden.

Wie viel Grad hat ein Achteck?

Diese Frage müsste korrekt heißen: "Wie groß ist di Summe aller Winkel im gleichmäßigen Achteck?

Es gibt eine Formel für die Winkelsumme im n-Eck. Starte beim Viereck oder Quadrat: Jedes Quadrat, Rechteck oder allgemein ein Viereck hat die Winkelsumme von 360 Grad. Setzen wir jetzt ein Dreieck an einer Seite an, hat das Dreieck weitere 180 Grad, aber wir haben nur eine Ecke hinzugefügt. Also fügen wir jetzt weitere 4 Ecken an ein Quadrat, d.h. 4 x 180 Grad zu den 360 Grad ergibt 360° + 720° = 1080°. Ein Achteck hat also 1080 Grad (als Innenwinkelsumme). Bei acht Ecken heißt das, es sind 135 Grad in jeder Ecke.

Ein Fünfeck hat übrigens im Kreis gezeichnet 5 Speichen mit jeweils dem Winkel 72° (360° : 5) oder als Innenweinkelsumme  360 Grad + 1 x 180 Grad = 540 Grad.

Wie viele Diagonalen hat ein Achteck?

Wenn man als Diagonale die Strecke zu einem gegenüber liegenden Punkt genau durch den Mittelpunkt versteht, dann hat ein Achteck genau 4 Diagonalen. Wenn man als Diagonalen die Strecken zum übernächsten und anderen gegenüber liegenden Eckpunkten versteht, sind es einige mehr. Zeichne ein Achteck und alle Verbindungslinien!


Teil 1: Das Achteck und seine Eigenschaften

Wir basteln ein regelmäßiges Achteck

Aus einem Blatt Papier kann man ein gleichmäßiges Achteck leicht basteln.

Hast du schon einmal überlegt, wie man ein Achteck aus einem Blatt Papier basteln kann, ohne Lineal und nur mit einer ASchere und dem DIN A4 Blatt?

In einem Video zeige ich dir, wie es geht. Zuerst machen wir aus dem Blatt Papier ein Quadrat (Viereck) und basteln jetzt ein Acheck aus dem Viereck.

Wir zeichnen ein Achteck aus einem Viereck (Quadrat) und einem Kreis.

Wir zeichnen ein Quadrat mit dem Lineal und mit dem Zirkel einen Kreis in das Quadrat. Jetzt benötigen wir noch die zwei Diagonalen im Quadrat und die Senkrechte und waagerechte Mittellinie. Die acht Schnittpunkte der Linien mit dem Kreis bilden die Ecken des Achtecks. Verbinde alle Ecken mit einer geraden Linie und fertig ist das Achteck.


Kantenlänge des gebastelten Achtecks berechnen oder nur ausmessen

Achteck berechnen - wie groß ist die Kantenlänge des Achtecks, das wir aus einem Blatt Papier DIN A4 und anschließend aus dem Quadrat mit der Kantenlänge a=21 cm gebastelt haben?

Die Projektaufgabe stelle ich euch in diesem Video vor.

Die Kantenlänge kann man über Terme, die man anhand von bestimmten Längen am Achteck aufstellen kann, ausrechnen.


Die Kantenlänge ausmessen

Für die Schülerinnen und Schüler aus der Klassenstufe 5-7 kann man die Kantenlänge aber auch aus dem gebastelten Achteck ablesen.

Achteck gebastelt DIN A4

Bei meinem Achteck aus dem Video habe ich folgende Kantenlängen ausgemessen und den Mittelwert ausgerechnet:

Mittelwert der Kantenlänge des Achtecks berechnet mit EXCEL

Meine mittlere Kantenlänge beträgt 8,7 cm.


Teil 2: Die achteckige Burg Castel del Monte in Apulien, Italien

Castel del Monte - die Achteckige Burg aus dem Mittelalter

Faszinierend und als Anregung für dieses Projekt ist die Burg "Castel del Monte", die um 1240 in Apulien vom Staufenkaiser Friedrich II gebaut wurde. Hierzu existieren verschiedene Filme, die als EInstieg ins Thema verwendet werden können.

Unter anderem mein Favorit zum Einstieg, von SWR3: Castel del Monte


Teil 3: Wir zeichnen den Grundriss von Castel del Monte

Die mysteriöse achteckige Burg fasziniert hoffentlich nicht nur mich, sondern auch die Schüler/innen. Wir wollen die Konstruktion der Burg verstehen und den Grundriss nachzeichnen.

Hier schon einmal vorab einige Elemente


Der Achtstern und die Basis für den Grundriss

Aus diesen Überlegungen wird der Grundriss gezeichnet.

Achtstern für das Achteck - Grundriss von Castel del Monte

Wenn wir auf dieser Basis etwas weiter denken, kommen wir dazu, den groben Grundriss zu zeichnen, ohne die innere Raumaufteilung zu berücksichtigen.

Schritt 1 der Konstruktion des Castel del Monte:

Konstruktion Achteck Schritt 1 : Castel del Monte

Schritt 2 der Konstruktion des Castel del Monte:

Konstruktion Achteck Schritt 2 : Castel del Monte

Schritt 3 der Konstruktion des Castel del Monte:

Konstruktion Achteck Schritt 3 : Castel del Monte

Schritt 4 der Konstruktion des Castel del Monte:

Konstruktion Achteck Schritt 4 : Castel del Monte

Schritt 5 der Konstruktion des Castel del Monte:

Konstruktion Achteck Schritt 5 : Castel del Monte

... einige Schritte lasse ich hier weg. Alle Schritte und die einzelnen Bilder als Powerpoint-Folie können mit online Zugang herunter geladen werden.

Konstruktion des Castel del Monte fertiggestellt:

Konstruktion Achtec : Castel del Monte


Teil 4: Mosaike oder Achteck-Muster zeichnen

Ein mittelalterliches Mosaik mit Achtecken - aus dem Arabischen und Indischen Raum seit mindestens 1000 n.Chr. bekannt.

Aus dem Achtstern können wir vielfältige Mosaike zeichnen.

Achtstern für das Achteck - Grundriss von Castel del Monte

Teilen wir unser Blatt in mehrere Quadrate auf, haben wir schnell sich wiederholende Muster, die wir ganz verschieden (auch verschieden farbig!) ausfüllen können.

Achteck Muster Mosaik zum ausmalen

Mosaik Achteck Muster

Mosaik Achteck Fussboden

Diese Mosaike kannst du zeichnen oder probiere es einmal, die Achtecke mit Powerpoint zu zeichnen. So habe ich es gemacht!


Teil 5 - Symmetrien im Achteck erkennen

Warum Symmetrien an langweiligen künstlich erzeugten Objekten erkennen und Symmetrieeigenschaften üben?

Aus den oben dargestellten Bildern kann man vielfältige Symmetriearten finden und das gleich mehrfach.

  • Punktsymmetrie
  • Achsensymmetrie
  • Drehsymmetrie

Finde die vielen Achsen, die bei einer Spiegelung das Objekt wieder in sich selbst abbilden!

Gibt es eine Punktsymmetrie? ist das Achteck Punktsymmetrisch?

Finde Drehpunkte und Drehwinkel, die das jeweilige Bild wieder in sich selbst abbilden!


Teil 6 - Übungen mit Powerpoint zum Achteck

Als Teil der ITG - informationstechnischen Grundbildung - kann an diesem Beispiel sehr variabel und in den verschiedensten Schwierigkeitsstufen am PC geübt werden. Mit Powerpoint oder auch mit der Geometriesoftware Geogebra können die Achteck-Muster nachgezeichnet werden.

Achtecke mit Powerpoint nachzeichnen

Alle Achteck Muster auf dieser WEB-Seite wurden mit Powerpoint gezeichnet! Bist du auch so fit? Probiere es aus.

Dateien / Arbeitsblätter zum Downloaden: