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Jörg Christmann
Autor und Mathematiklehrer

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Stammfunktion: Begriff und Rechenregeln für unbestimmte Integrale

Definiton Stammfunktion

Jede Funktion F, für die gilt: F’(x) = f(x) heißt Stammfunktion von f.
Dabei muss f(x) differenzierbar sein!

Das Auffinden einer Stammfunktion heißt Integration.

Eine Stammfunktion F einer Funktion f(x) ist bis auf eine Integrationskonstante C genau bestimmt. Das wird deutlich, wenn man die Stammfunktion ableitet. Denn bei diesem Vorgang verschwindet die Konstante C.

Es gibt folglich eine unbestimmte Menge an Stammfunktionen zu einer Funktion f(x). Daher nennt man die Menge der Stammfunktionen zu einer Funktion f(x) auch unbestimmtes Integral.

 

 

Beispiele für verschiedene Stammfunktionen zu einer Funktion f(x):

Beispiele für verschiedene Stammfunktionen

Ganz allgemein gilt:

Allgemeines Unbestimmtes Integral

In Integralschreibweise:

Integralschreibweise eines unbestimmten Integrals

 

Zur Bestimmung der Stammfunktion einer Funktion und damit der Bestimmung des unbestimmten Integrals können wir ähnliche Regeln wie bei der Bildung der Ableitung gewinnen, indem wir diese umdrehen.

Wir wiederholen die Regeln der Differenzialrechnung und gewinnen die neuen Regeln zur Integralrechnung:

 

Regeln aus der Differenzialrechnung

 

1. Potenzregel

Umgengsprachlich: Ziehe den Exponenten als Faktor aus der Potenz heraus und erniedrige den Exponenten um den Wert 1.

 Potenzregel der Diffrenzialrechnung

2. Summenregel

Umgangssprachlich: Jeden Summanden kann man separat ableiten.

 Summenregel der Differenzialrechnung

3. Faktorregel

Umgangsrpachlich: Ein konstanter Faktor bleibt bei der Ableitung erhalten.

 Faktorregel der Diffrenzialrechnung

4. Kettenregel

Umgangssprechlich: Innere Ableitung mal äußere Ableitung!

 Kettenregel der Differenzialrechnung

 

Regeln zur Integralrechnung

 

1. Potenzregel

Umgengsprachlich: Ziehe den Exponenten +1 aus der Potenz heraus , bilde als Faktor den Kehrwert davon und erhöhe den Exponenten um den Wert 1.

 Potenzregel der Integralrechnung

2. Summenregel

Umgangssprachlich: Jeden Summanden in einem Integral kann man separat integrieren.

 Summenregel der Integralrechnung

3. Faktorregel

Umgangsrpachlich: Ein konstanter Faktor bleibt beim Integrieren erhalten.

Faktorregel der Integralrechnung 

4. Die Kettenregel heißt jetzt: lineare Substitution

Umgangssprechlich: Der Kehrwert der Inneren Ableitung kommt als Faktor vor die Stammfunktion.

 Lineare Substitution

 

 

Dateien / Arbeitsblätter zum Downloaden:

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