Kreis und Kugel in der Geometrie - Oberfläche, Volumen

Kreis und Kugel - die Herkunft der "Kreiszahl" PI

Die Form des Kreises und der Kugel begenet uns nicht nur in der Mathematik sondern auch vielfach in der Natur.

In diesem Abschnitt wollen wir einiges über den Kreis und die Kegel kennenlernen. Hierbei stoßen wir auch auf die Zahl PI.

Definition: Kreis

Mathematisch:

Der Kreis (Umfang, Kreislinie) ist die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt M den gleichen Abstand haben. Für jeden Punkt gilt (wenn der Mittelpunkt im Ursprung liegt): x-Koordinate zum Quadrat (x1) mal y-Koordinate zum Quadrat (y1) = Radius zum Quadrat (r), siehe Bild.

Die Kreisfläche ist definiert als die Menge aller Punkte, deren Abstand zu einem Mittelpunkt M kleiner oder gleich dem Radius r ist.

Umgangsprachlich:

Alle Punkte auf einer Kreislinie haben den gleichen Abstand vom Mittelpunkt. Dieser Abstand heißt Radius r. Alle Punkte die von der Kreislinie eingeschlossen werden bilden die Kreisfläche.

 

Definition: Kugel

Eine Kugelschale wird gebildet von der Menge aller Punkte, die vom Mittelpunkt M einer Kugel den gleichen Abstand haben. Die Kugel (als "massive" Kugel) als geometrisches Gebilde ist definiert als die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt kleiner oder gleich dem Radius r ist.

Exakter wird die Kugel in der analytischen Geometrie definiert, wenn wir mit Ortsvektoren arbeiten.

 

Kreis und Kugel - die Herkunft der "Kreiszahl" PI

Die Form des Kreises und der Kugel begenet uns nicht nur in der Mathematik sondern auch vielfach in der Natur.

In diesem Abschnitt wollen wir einiges über den Kreis und die Kegel kennenlernen. Hierbei stoßen wir auch auf die Zahl PI.

Definition: Kreis

Mathematisch:

Der Kreis (Umfang, Kreislinie) ist die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt M den gleichen Abstand haben. Für jeden Punkt gilt (wenn der Mittelpunkt im Ursprung liegt): x-Koordinate zum Quadrat (x1) mal y-Koordinate zum Quadrat (y1) = Radius zum Quadrat (r), siehe Bild.

Die Kreisfläche ist definiert als die Menge aller Punkte, deren Abstand zu einem Mittelpunkt M kleiner oder gleich dem Radius r ist.

Umgangsprachlich:

Alle Punkte auf einer Kreislinie haben den gleichen Abstand vom Mittelpunkt. Dieser Abstand heißt Radius r. Alle Punkte die von der Kreislinie eingeschlossen werden bilden die Kreisfläche.

 

Definition: Kugel

Eine Kugelschale wird gebildet von der Menge aller Punkte, die vom Mittelpunkt M einer Kugel den gleichen Abstand haben. Die Kugel (als "massive" Kugel) als geometrisches Gebilde ist definiert als die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt kleiner oder gleich dem Radius r ist.

Exakter wird die Kugel in der analytischen Geometrie definiert, wenn wir mit Ortsvektoren arbeiten.

 

Herleitung Flächeninhalt

Der Flächeninhalt kann wie folgt hergeleitet werden:

  • Wir zeichnen ein Quadrat um einen Kreis mit dem Radius 1 und erkennen, dass die Fläche genau 4 beträgt. (Bild 1)
  • Zusätzlich zeichnen wir ein gekipptes Quadrat in das Innere des Kreises und erkennen, dass diese Fläche genau 2 beträgt. (Bild 2)

 

Bild 1 - Schritt 1

Bild 2 - Schritt 2

  • In einer ersten Abschätzung können wir sagen, dass der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 1 irgendwo zwischen 2 und 4 liegt!

Herleitung Umfang

Umfang herleiten

  • demnächst hier!
  •  

Aufgaben Kreis + Kugel

Aufgaben Kugel

1. Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche der Kugeln mit folgenden Eigenschaften:

a)         r = 7cm

b)        d = 2m

c)         U = 5 dm

 

2. Eine Kugel habe die Oberfläche 3dm².

a) Geben Sie Formeln an, die den Durchmesser und das Volumen einer beliebigen Kugel nicht mehr in Abhängigkeit von r sondern von O angeben.        

b) Berechnen Sie den Durchmesser und das Volumen der Kugel mithilfe der Formeln aus a).

 

3. Eine Kugel habe das Volumen 1m³. Berechnen Sie Radius und Oberfläche dieser Kugel.

 

4. Ein Ball habe einen Umfang von 70 cm. 80% des Volumens seien mit Luft gefüllt. 20% des Volumens bilden die Schale des Balles. Berechnen Sie:

a) den Außenradius

b) das gesamte Volumen

c) die äußere Oberfläche

d) den Innenradius

e) die innere Oberfläche


Alle Rechte vorbehalten - Copyright by Mathefritz Verlag Jörg Christmann

LOGIN online Zugang

Login für Arbeitsblätter, Vorlagen, Lösungen und vollständige Lernhefte als PDF. So funktioniert es!