Kegel - in der Geometrie, Volumen, Mantelfläche

Der Kegel in der Geometrie

Ein Kegel ist ein geometrischer Körper, der entsteht, wenn man alle Punkte der Kreislinie eines in Ebene liegenden Kreies mit einem Punkt (der Spitze des Kegels) senkrecht über dem Mittelpunkt des Kreises (außerhalb der Ebene) verbindet.

Der Abstand zwischen Spitze und Grundfläche nennt man Höhe h des Kegels. Die Verbindungsstrecken der Spitze mit der Kreislinie heißen Mantellinien oder Seitenlinien.

 

 

Der Kegel in der Geometrie

Ein Kegel ist ein geometrischer Körper, der entsteht, wenn man alle Punkte der Kreislinie eines in Ebene liegenden Kreies mit einem Punkt (der Spitze des Kegels) senkrecht über dem Mittelpunkt des Kreises (außerhalb der Ebene) verbindet.

Der Abstand zwischen Spitze und Grundfläche nennt man Höhe h des Kegels. Die Verbindungsstrecken der Spitze mit der Kreislinie heißen Mantellinien oder Seitenlinien.

 

 

Volumen

Das Volumen des Kegels:

Der Kegel in der Geometrie

Das Volumen eines Kegels berechnet sich:

Formel für das Volumen eines Kegels

Kegelmantel

Die Länge der Mantellinie m berechnet sich mit dem Satz des Pythagoras:

Formel für die Mantellinie eines Kegels

Die abgewickelte Mantelfläche eines geraden Kegels ist ein Kreissektor eines Kreises mit dem Radius m der Mantellinie.

Der Kegelmantel - Skizze und Bezeichnungen

Der Kreisbogen u des Sektors hat die Länge des Umfangs des Kreises der Grundfläche des Kegels!

Der Winkel Alpha des Kreissektors steht im Verhältnis zum gesamten Umfang (360°) wie die Länge des Kreisbogens zum gesamten Umfang:

Berechnung des Winkels des Kegelmantels

 

Die Fläche des Kegelmantes verhält sich zur gesamten Fläche des Kreises wie der Winkel Alpha zu 360°.

Nach Kürzen ergibt sich eine sehr einfache Formel für die Fläche eines Kegelmantels:

Formel für die Mantelfläche eines Kegels

Aufgaben zum Kegel

Aufgaben zum Kegel

1. Aufgabe:     Berechne jeweils das Volumen des Kegels mit den folgenden Angaben:

a)         Radius Grundfläche r = 10 cm           Höhe h = 15 cm

b)         Radius Grundfläche r = 0,25 m          Höhe h = 0,4 m

c)         Durchmesser Grundfläche d = 2 m     Höhe h = 2,5 m

 

2. Aufgabe:     Berechne jeweils die gesuchte Größe aus den vorhandenen Angaben

a)         Gesucht: Länge der Mantellinie m,  Gegeben: Höhe h = 30 cm, Radius r = 8 cm

b)         Gesucht: Höhe h,  Gegeben: Radius r = 12 cm, Länge der Mantellinie m = 30 cm

c)         Gesucht: Umfang d. Grundfläche,  Geg.: Höhe h = 0,5 m, Länge d. Mantell. m = 0,6 m

d)         Gesucht: Volumen V, Geg.: Umfang d. Grundfl. U = 0,94 m, Länge Mantell. m = 0,4 m

e)         Gesucht: Mantelfläche M, Geg.: Radius r = 30 cm, Länge d. Mantellinie m = 50 cm

 

3. Aufgabe:     Zeichne die Mantelfläche eines Kegels im Maßstab 1:1

a)         Radius r = 3 cm, Höhe h = 4 cm

b)         Grundfläche G = 12,57 cm2, Länge der Mantellinie m = 8 cm

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