Bruchgleichungen lösen - so geht es

Bruchgleichungen

Vorbemerkung:

Das Skript Terme und Gleichungen Klassenstufe 5 wird als Vorwissen vorausgesetzt.

Sehr Hilfreich und wichtig zu wissen:

Binomische Formeln erkennen und auch rückwärts anwenden, Ausklammern, Ausmultiplizieren, Zerlegung in Linearfaktoren!

 

1. Schritt – Die Definitionsmenge

Bruchterme und Bruchgleichungen enthalten in der Regel immer einen Nenner mit Variablen. Der Nenner eines Bruches darf nie Null sein. Daher müssen die Fälle, für die der Nenner Null werden könnte, ausgeschlossen werden.

Wie man die Definitionsmenge bestimmt:

Setze den Nenner gleich Null und bestimme die Lösungsmenge. Diese Lösungsmenge muss von der maximalen Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Dies ist entweder Q, die Menge der rationalen Zahlen oder R, die Menge der reellen Zahlen. !

Beispiele:

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a) Nur ein Nenner:    x = 0,   Lösungsmenge: L = {0}

Definitionsmenge: D = Q \ {0}

b) Zwei verschiedene Nenner:    x - 2 = 0  und  x + 2 = 0 Lösungsmenge: L = {-2; 2}

Definitionsmenge: D = Q \ {-2; 2}

 

2. Schritt – Gleichung vereinfachen und Nenner entfernen

Brüche können durch Kürzen und Erweitern vereinfacht bzw. umgeformt werden, ohne dass sich der Wert des Bruches ändert. Ebenso dürfen wir eine Gleichung auf jeder Seite mit der gleichen Zahl oder auch einem gleichen Term multiplizieren oder dividieren, ohne dass sich die Gleichung ändert.

Dies nutzen wir aus, um die Nenner in der Bruchgleichung zu entfernen.

Zunächst werden jedoch die Nenner von allen enthaltenen Brüchen auf den gleichen Hauptnenner gebracht, sofern nicht schon der gleiche Hauptnenner vorkommt.

 

Beispiele:

image001

 

Beispiel a) Wir multiplizieren jede Seite mit dem gleichen Term im Nenner: x

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image005     Jetzt kürzen wir x.

Die verbleibende Gleichung wird gelöst wie bekannt:

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Erst wenn wir diese Lösung mit der Definitionsmenge verglichen haben, dürfen wir die Lösungsmenge für  die Bruchgleichung angeben!

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